11421. Пусть P
и Q
— проекции точки H
, лежащей на стороне AC
остроугольного треугольника ABC
, на стороны AB
и BC
соответственно. Докажите, что если точки A
, P
, Q
, C
лежат на одной окружности, то BH
— высота треугольника ABC
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Четырёхугольник APQC
вписанный, поэтому
\angle BQP=180^{\circ}-\angle CQP=\angle CAP=\angle BAC=\alpha.
Тогда
\angle PQH=\angle BQH-\angle BQP=90^{\circ}-\alpha.
Из точек P
и Q
отрезок BH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BH
. Вписанные в эту окружность углы PBH
и PQH
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ABH=\angle PBH=\angle PQH=90^{\circ}-\alpha.
Следовательно,
\angle AHB=180^{\circ}-\angle BAH-\angle ABH=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
т. е. BH
— высота треугольника ABC
.