11435. Биссектрисы AA_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке P
. Докажите, что если в четырёхугольник PC_{1}BA_{1}
можно вписать окружность, то треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Первый способ. Окружность, вписанная в четырёхугольник PC_{1}BA_{1}
, вписана в угол ABC
, поэтому её центр O
лежит на биссектрисе BP
этого угла. При симметрии относительно прямой BO
окружность переходит в себя, угол ABC
переходит в себя, а касательная PC_{1}
— в касательную PC_{2}
. Но прямые PA_{1}
и PC_{2}
совпадают, значит, треугольник PA_{1}B
симметричен треугольнику PC_{1}B
. Следовательно, \angle PA_{1}B=\angle PC_{1}B
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ACB=\gamma
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle PA_{1}B=\frac{\alpha}{2}+\gamma~\mbox{и}~\angle PC_{1}B=\frac{\gamma}{2}+\alpha.
Из равенства \frac{\alpha}{2}+\gamma=\frac{\gamma}{2}+\alpha
получаем, что \gamma=\alpha
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.
Второй способ. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Центр окружности, вписанной в четырёхугольник PC_{1}BA_{1}
, лежит на биссектрисе угла B
, а значит, на диагонали BP
этого четырёхугольника. Тогда PB
— биссектриса угла A_{1}PC_{1}
, поэтому треугольники BA_{1}P
и BC_{1}P
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, равны отрезки BA_{1}
и BC_{1}
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{AB}{AC}~\mbox{и}~\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=\frac{BC}{AC},
откуда
BA_{1}=\frac{BC}{AB+AC}\cdot AB=\frac{ac}{b+c}~\mbox{и}~BC_{1}=\frac{AB}{BC+AC}\cdot BC=\frac{ca}{a+b}.
Из равенства \frac{ac}{b+c}=\frac{ca}{a+b}
получаем, что a=c
, т. е. BC=AB
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.