11451. Неравнобедренный треугольник ABC
периметра 12 вписан в окружность \omega
. Точки P
и Q
— середины дуг ABC
и ACB
соответственно. Касательная, проведённая к окружности \omega
в точке A
, пересекает луч PQ
в точке R
. Оказалось, что середина отрезка AR
лежит на прямой BC
. Найдите длину отрезка BC
.
Ответ. 4.
Решение. Пусть I_{A}
, I_{B}
, I_{C}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Тогда лучи AI_{A}
, BI_{B}
, CI_{C}
будут биссектрисами углов треугольника ABC
, а биссектрисы внешних углов треугольника лежат на прямых I_{B}I_{C}
, I_{C}I_{A}
, I_{A}I_{B}
. Следовательно, точки A
, B
, C
будут основаниями высот треугольника I_{A}I_{B}I_{C}
, а окружность \omega
— его окружностью девяти точек (см. задачи 4126 и 174). Тогда точка P
является отличной от B
точкой пересечения I_{A}I_{C}
с окружность \omega
. Следовательно, P
— середина I_{A}I_{C}
. Аналогично, Q
— середина I_{A}I_{B}
. Таким образом, PQ
— средняя линия треугольника I_{A}I_{B}I_{C}
.
Обозначим через K
и L
соответственно основания внешней и внутренней биссектрис угла A
треугольника ABC
и через M
— точку пересечения прямых AR
и BC
. По условию мы знаем, что AM=MR
. Докажем, что AM=ML=MK
. Действительно,
\angle MAL=\angle MAC+\angle CAL=\angle ABC+\angle LAB=\angle ALM
(точка M
лежит на луче BC
, поскольку R
— на PQ
). Тогда AM=ML
, а поскольку треугольник AKL
прямоугольный, то и AM=MK
. Итак, AM=ML=MK=MR
. Следовательно, ALRK
— прямоугольник и LR\parallel I_{B}I_{C}
. Мы получаем, что прямые PQ
и LR
параллельны I_{B}I_{C}
и имеют общую точку R
. Тогда эти прямые совпадают. Это означает, что точка L
лежит на средней линии треугольника I_{A}I_{B}I_{C}
и, следовательно, делит пополам отрезок AI_{A}
(см. задачу 1597).
Далее, применив свойство биссектрисы треугольника к треугольнику ABC
и свойство биссектрисы внешнего угла треугольника к треугольникам ABL
и ACL
(см. задачи 1509 и 1645), получим
\frac{AB}{BL}=\frac{AC}{CL}=\frac{AI_{A}}{I_{A}L}=2.
Тогда AB+AC=2BC
, поэтому периметр треугольника ABC
равен 3BC
, т. е. 12=3BC
. Следовательно, BC=4
.