11452. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) проведена биссектриса AD
. На основании AC
отмечена такая точка E
, что AE=DC
. Биссектриса угла AED
пересекает сторону AB
в точке F
. Докажите, что \angle AFE=\angle DFE
.
Решение. Проведём биссектрису CL
угла ACB
. Треугольник ABC
равнобедренный, поэтому AL=DC=AE
, из чего получаем, что треугольник ALE
тоже равнобедренный. Пусть \angle BAC=\angle BCA=2\alpha
, тогда
\angle ALE=\angle AEL=90^{\circ}-\alpha.
Кроме того,
BL=BA-LA=BC-DC=BD,
откуда LD\parallel AC
. В силу этой параллельности,
\angle LDA=\angle DAE=\alpha=\angle LAD,
и треугольник ALD
равнобедренный. Таким образом, в четырёхугольнике ALDE
стороны LD
и AE
равны и параллельны, следовательно, ALDE
— параллелограмм, но AL=AE
, следовательно, ALDE
— ромб. По свойству ромба EL
— биссектриса угла AED
, т. е. точки L
и F
совпадают. Как мы уже знаем, \angle ALE=\angle DLE
. Что и требовалось доказать.