11483. Треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
таковы, что \angle A=\angle A_{1}
и \angle B+\angle B_{1}=180^{\circ}
. Докажите, что если A_{1}B_{1}=AC+BC
, то AB=A_{1}C_{1}-B_{1}C_{1}
.
Решение. Отметим на луче AC
(за точку C
) такую точку B'
, что CB'=CB
. Тогда по условию AB'=A_{1}B_{1}
. Отметим на луче AB
такую точку C'
, что треугольник AB'C'
равен треугольнику A_{1}B_{1}C_{1}
. Точка C'
попадёт на продолжение стороны AB
за точку B
, поскольку иначе
\angle ABC+\angle C'B'A\leqslant\angle ABB'+\angle BB'A\lt\angle ABB'+\angle BB'A+\angle A=180^{\circ},
что противоречит условию \angle B+\angle B_{1}=180^{\circ}
.
Поскольку
CB'=CB~\mbox{и}~\angle CB'C'=180^{\circ}-\angle ABC=\angle CBC',
четырёхугольник CBC'B'
симметричен относительно диагонали CC'
. Значит, треугольники BCC'
и B'CC'
равны. Следовательно,
AB=AC'-BC'=AC'-B'C=A_{1}C_{1}-B_{1}C_{1}.