11491. Докажите, что точки пересечения средних линий треугольника ABC
со сторонами треугольника, вершинами которого являются центры вневписанных окружностей, лежат на одной окружности.
Решение. Пусть A_{b}
— проекция вершины A
на биссектрису внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
. Аналогично определим точки A_{c}
, B_{c}
, B_{a}
, C_{a}
, C_{b}
. Известно, что прямая A_{b}A_{c}
содержит среднюю линию треугольника ABC
(см. задачу 1370). Следовательно, надо доказать, что шестиугольник A_{b}C_{b}B_{c}A_{c}C_{a}B_{a}
вписанный.
Пусть I_{a}
, I_{b}
, I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
. Тогда
\angle AA_{b}I_{a}=\angle AA_{c}I_{a}=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle BC_{b}C=\angle BB_{c}C=90^{\circ}.
Значит, четырёхугольники AA_{b}I_{a}A_{c}
и BCB_{c}C_{b}
вписанные. Поэтому
\angle A_{c}A_{b}I_{a}=\angle A_{c}AI_{a}=\angle AI_{b}I_{a}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=\angle CBI_{a}=\angle C_{b}B_{c}I_{a},
(так как AA_{c}
— высота прямоугольного треугольника I_{a}AI_{c}
, а \angle AI_{b}I_{a}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)
как угол между биссектрисами внешних угол треугольника ABC
при вершинах A
и C
, см. задачу 4770). Значит, четырёхугольник A_{b}A_{c}B_{c}C_{b}
вписанный.
При этом серединный перпендикуляр к отрезку B_{a}C_{a}
проходит через середину стороны AC
(как средняя линия прямоугольной трапеции AA_{b}C_{b}C
с основаниями AA_{b}
и CC_{b}
) и параллелен биссектрисе угла ABC
(так как эта биссектриса перпендикулярна прямой I_{a}I_{c}
, содержащей отрезок A_{b}C_{b}
). Аналогично, серединный перпендикуляр к отрезку A_{c}B_{c}
проходит через середину стороны AB
и параллелен биссектрисе угла ACB
.
Значит, центр описанной окружности четырёхугольника A_{b}A_{c}B_{c}C_{b}
совпадает с центром P
вписанной окружности серединного треугольника — точкой пересечения его биссектрис, т. е. точка P
равноудалена от точек A_{b}
, A_{c}
, B_{c}
и C_{b}
.
Аналогично, четырёхугольник B_{a}B_{c}A_{c}C_{a}
вписанный, а центр его описанной окружности также совпадает с точкой P
, и поэтому точка P
равноудалена от точек B_{a}
, B_{c}
, A_{c}
и C_{a}
. Отсюда получаем, что точки B_{a}
и C_{a}
также лежат на описанной окружности четырёхугольника A_{b}A_{c}B_{c}C_{b}
. Следовательно, все шесть рассматриваемых точек лежат на одной окружности.