11504. На окружности, описанной около треугольника ABC
, отмечены точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины дуг CAB
, ABC
и BCA
соответственно. Докажите, что касательный к окружности в точках A_{1}
и C_{1}
и серединный перпендикуляр к отрезку BB_{1}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть биссектриса угла ABC
пересекает окружность в точке K
. Тогда K
— середина дуги AC
, не содержащей точки B
(см. задачу 430), а так как B_{1}
— середина дополнительной дуги ABC
, то KB_{1}
— диаметр окружности. Значит, BK\perp BB_{1}
, поэтому хорда BK
параллельна серединному перпендикуляру к хорде BB_{1}
, т. е. ещё одному диаметру окружности.
Пусть касательные к окружности в точках A_{1}
и C_{1}
пересекаются в точке D
. Для доказательства утверждения задачи достаточно доказать, что DO\parallel BK
.
Заметим, что DO
— биссектриса угла C_{1}DA_{1}
(см. задачу 1724). Поскольку A_{1}D\parallel BC
и C_{1}D\parallel AB
(см. задачу 1734), ABC
и C_{1}DA_{1}
— углы с соответственно сонаправленными сторонами. Их биссектрисы тоже параллельны, следовательно, DO\parallel BK
. Что и требовалось доказать.