11518. Четырёхугольник
ABCD
вписан в окружность
\omega
. Продолжения противоположных сторон этого четырёхугольника пересекаются в точках
K
и
N
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника
AKN
, касается окружности
\omega
тогда и только тогда, когда, окружность, описанная около треугольника
CKN
, касается окружности
\omega
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (другие случаи рассматриваются аналогично).
Пусть
\omega_{1}
— окружность, описанная около треугольника
CKN
, а
\omega_{2}
— окружность, описанная около треугольника
AKN
.
Если окружность
\omega_{1}
касается окружности
\omega
, то в точке
C
у этих окружностей есть общая касательная
l_{1}
(см. задачу 1759). Пусть
X
и
Y
— точки прямой
l_{1}
, лежащие про разные стороны от
C
, причём точки
X
и
K
лежат по одну сторону от прямой
AC
. Из теоремы об угле между касательной и хордой получаем, что
\angle CNK=\angle XCK=\angle YCB=\angle CDB.

Следовательно,
KN\parallel BD
, поэтому
\angle ADB=\angle DKN
.
Пусть
Z
— точка на касательной
l_{2}
к окружности
\omega
в точке
A
, причём
Z
и
Y
лежат по одну сторону от прямой
AC
. Тогда
\angle ZAN=\angle ZAB=\angle ADB=\angle DKN=\angle AKN.

Значит,
l_{2}
— касательная к окружности
\omega_{2}
(см. задачу 144). Следовательно,
l_{2}
— общая касательная окружностей
\omega
и
\omega_{2}
.
Аналогично, если касаются окружности
\omega
и
\omega_{2}
, то касаются окружности
\omega
и
\omega_{1}
.
Второй способ. Пусть окружность
\omega
и
\omega_{2}
касаются в точке
A
, а
r
,
r_{1}
и
r_{2}
— радиусы окружностей
\omega
,
\omega_{1}
и
\omega_{2}
соответственно. При гомотетии с центром
A
и коэффициентом
\frac{r_{2}}{r}
окружность
\omega
переходит в
\omega_{2}
, точка
D
— в точку
K
, точка
B
— в
N
. Значит,
KN\parallel DB
.
Тогда при гомотетии с центром
C
и коэффициентом
-\frac{r_{2}}{r}
треугольник
CDB
переходит в треугольник
CNK
. Значит, окружность
\omega
, описанная около треугольника
CDB
переходит в окружность
\omega_{1}
, описанную около треугольника
CNK
. Следовательно, эти окружности касаются, так как центр гомотетии лежит на одной из них (см. задачу 6401).
Обратное аналогично.