11519. В треугольнике ABC
точка O
— центр описанной окружности. Через точки A
и C
проведена окружность, касающаяся AO
и CO
. Докажите, что вторые точки пересечения прямых BA
и CA
с этой окружностью являются концами её диаметра.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (другие случаи рассматриваются аналогично).
Пусть O_{1}
— центр окружности \omega
, проходящей через точки A
и C
и касающейся прямых AO
и AC
, A_{1}
и C_{1}
— вторые точки пересечения прямых соответственно BA
и CA
с этой окружностью. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
.
Вписанный угол ABC
вдвое меньше соответствующего центрального угла AOC
, значит, угол при вершине O
равнобедренного треугольника AOC
равен 2\beta
. Тогда
\angle OAC=\angle OCA=90^{\circ}-\beta.
Радиус O_{1}A
окружности \omega
, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \angle OAO_{1}=90^{\circ}
. Тогда
\angle CAO_{1}=90^{\circ}-\angle OAC=90^{\circ}-(90^{\circ}-\beta)=\beta,
поэтому
\angle AA_{1}O_{1}=\angle A_{1}AO_{1}=180^{\circ}-\alpha-\beta,~
\angle AO_{1}A_{1}=180^{\circ}-2(180^{\circ}-\alpha-\beta)=2\alpha+2\beta-180^{\circ}.
Аналогично,
\angle CO_{1}C_{1}=2\gamma+2\beta-180^{\circ}.
Из четырёхугольника AOCO_{1}
с прямыми углами при вершинах A
и C
находим, что
\angle AO_{1}C=180^{\circ}-\angle AOC=180^{\circ}-2\beta.
Значит,
\angle AO_{1}A_{1}+\angle AO_{1}C+\angle CO_{1}C_{1}=
=(2\alpha+2\beta-180^{\circ})+(180^{\circ}-2\beta)+(2\gamma+2\beta-180^{\circ})=
=(2\alpha+2\gamma+2\beta)-180^{\circ}=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ},
т. е. точки A_{1}
, O_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой. Следовательно, A_{1}C_{1}
— диаметр окружности \omega
.