11523. Дан треугольник ABC
. Окружность \omega_{1}
с центром на отрезке AB
проходит через точку A
и пересекает вторично отрезки AB
и AC
в точках A_{1}
и A_{2}
соответственно. Окружность \omega_{2}
с центром на отрезке BC
проходит через точку C
и пересекает вторично отрезки BC
и AC
в точках C_{1}
и C_{2}
соответственно. Известно, что окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
касаются в точке K
внешним образом. Докажите, что \angle A_{1}KC_{1}=\angle A_{2}KC_{2}
.
Решение. Поскольку окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
касаются в точке K
, в этой точке у них есть общая касательная (см. задачу 1759). Пусть она пересекает прямую AC
в точке N
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle KAC=\angle A_{2}KN,~\angle KCA=\angle C_{2}KN.
Кроме того, точка K
лежит на окружности с диаметром AA_{1}
и на окружности с диаметром CC_{1}
, поэтому
\angle AKA_{1}=\angle CKC_{1}=90^{\circ}.
Следовательно,
\angle A_{2}KC_{2}=\angle A_{2}KN+\angle C_{2}KN=\angle KAC+\angle KCA=
=180^{\circ}\angle AKC=180^{\circ}-(360^{\circ}-\angle AKA_{1}-\angle CKC_{1}-\angle A_{1}KC_{1})=
=180^{\circ}-(360^{\circ}-2\cdot90^{\circ}-\angle A_{1}KC_{1})=\angle A_{1}KC_{1}.
Что и требовалось доказать.