11524. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA_{1}
и CC_{1}
. Докажите, что если длины перпендикуляров, опущенных из вершины B
на прямые AA_{1}
и CC_{1}
, равны, то треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Пусть M
и K
— основания перпендикуляров, опущенных из точки B
на прямые CC_{1}
и AA_{1}
соответственно. Продолжим отрезки BM
и BK
до пересечения с прямой AC
в точках E
и D
соответственно.
В треугольнике BCE
высота CM
является биссектрисой, поэтому треугольник равнобедренный, BC=CE
. Тогда M
— середина основания BE
. Аналогично, AB=AD
и K
— середина BD
, а так как BD=2BK
и BE=2BM
, то BD=BE
, т. е. треугольник DBE
тоже равнобедренный. Значит, \angle BEC=\angle BDA
.
Равнобедренные треугольники BEC
и BDA
равны по стороне (BE=BD
) и прилежащим к ней углам, поэтому BA=BC
. Что и требовалось доказать.