11528. Угол при вершине A
равнобедренного треугольника ABC
(AB=AC
) равен 30^{\circ}
. На сторонах AB
и AC
взяты точки Q
и P
соответственно, причём \angle QPC=45^{\circ}
и PQ=BC
. Докажите, что BC=CQ
.
Решение. Отметим на луче BA
точку M
, для которой \angle BCM=30^{\circ}\lt75^{\circ}=\angle ACB
. Тогда точка M
лежит на стороне AB
, а так как
\angle BMC=180^{\circ}-30^{\circ}-75^{\circ}=75^{\circ}=\angle MBC,
то CM=BC
.
Отметим на луче AC
точку N
, для которой \angle AMN=15^{\circ}\lt\angle AMC
. Тогда точка N
лежит на стороне AC
, и при этом по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CNM=30^{\circ}+15^{\circ}=45^{\circ}=\angle MCN.
Значит, MN=CN=BC
.
Таким образом, треугольники APQ
и ANM
равны по стороне (PQ=BC=MN
) и двум прилежащим к ней углам
(\angle APQ=180^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}=\angle ANM,~\angle AQP=180^{\circ}-30^{\circ}-75^{\circ}=\angle ANM).
Значит, AM=AQ
и AN=AP
, т. е. точки M
и N
совпадают с точками Q
и P
соответственно. Следовательно,
CQ=CM=BC.