11538. Точки D
и E
лежат на продолжениях сторон AB
и BC
остроугольного треугольника ABC
за точки B
и C
соответственно. Точки M
и N
— середины отрезков AE
и DC
. Докажите, что MN\gt\frac{1}{2}AD
.
Решение. Пусть L
и K
— середины сторон AB
и AC
соответственно. Средние линии KL
и KM
треугольников ABC
и ACE
параллельны одной и той же прямой BC
, а точки L
и M
лежат по разные стороны от прямой AC
, поэтому K
лежит на отрезке LM
. Заметим, что
\angle NKM=\angle NKC+\angle CKM=\angle BAC+\angle BCA=180^{\circ}-\angle ABC\gt90^{\circ}.
Значит, MN
— самая длинная сторона в треугольнике MKN
(см. задачу 3499). В частности,
MN\gt KN=\frac{1}{2}AD.
Что и требовалось доказать.