11545. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы A
и C
равны 100^{\circ}
. На сторонах AB
и BC
выбраны точки X
и Y
соответственно, для которых AX=CY
. Оказалось, что прямая YD
параллельна биссектрисе угла ABC
. Найдите угол AXY
.
Ответ. 80^{\circ}
.
Указание. Через точку Y
проведите прямую, параллельную AB
.
Решение. Проведём через точку Y
прямую, параллельную AB
. Пусть она пересечёт AD
в точке K
. Тогда YD
— биссектриса угла KYC
\angle DYC=\angle DYK~\mbox{и}~\angle C=100^{\circ}=\angle BAD=\angle YKD,
поэтому треугольники DYC
и DYK
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, так как
\angle CDY=180^{\circ}-\angle DYC-\angle DCY=180^{\circ}-\angle DYK-\angle DKY.
Значит, YK=YC=AX
, и AXYK
— параллелограмм. Следовательно,
\angle AXY=\angle AKY=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}.