11551. В треугольнике ABC
точка M
— середина стороны AC
, кроме того, BC=\frac{2}{3}AC
и \angle BMC=2\angle ABM
. Найдите отношение \frac{AM}{AB}
.
Ответ. \frac{AM}{AB}=\frac{3}{2\sqrt{5}}
.
Решение. Положим \angle ABM=\alpha
. Тогда \angle BMC=2\alpha
, а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAM=\angle BMC-\angle ABM=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle ABM,
откуда BM=AM=MC
. Медиана BM
треугольника ABC
равна половине стороны AC
, поэтому \angle ABC=90^{\circ}
(см. задачу 1109).
Положим BC=4m
. Тогда
AC=\frac{3}{2}BC=6m,~AM=3m,~AB=\sqrt{36m^{2}-16m^{2}}=2m\sqrt{5}.
Следовательно,
\frac{AM}{AB}=\frac{3m}{2m\sqrt{5}}=\frac{3}{2\sqrt{5}}.