11555. Точки M
и N
— середины биссектрис AK
и CL
треугольника ABC
соответственно. Докажите, что угол ABC
прямой тогда и только тогда, когда \angle MBN=45^{\circ}
.
Решение. Пусть угол ABC
прямой (рис. 1). Тогда BM
и BN
— медианы прямоугольных треугольников ABK
и CBL
, поэтому (см. задачу 1109)
\angle MBA=\angle MAB=\frac{1}{2}\angle BAC~\mbox{и}~\angle NBC=\angle NCB=\frac{1}{2}\angle BCA.
Значит,
\angle MNB=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BCA)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Пусть угол ABC
тупой (рис. 2). Обозначим через R
и T
середины сторон AB
и AC
соответственно. Тогда точка M
лежит на средней линии TR
треугольника ABC
. Как известно, в тупоугольном треугольнике медиана тупого угла короче половины стороны, к которой она проведена (см. задачу 3550), т. е. TB\lt TA
. Поскольку TR
— медиана треугольника ATB
, отсюда следует, что основание U
биссектрисы этого треугольника, проведённой из вершины T
, лежит на отрезке RB
(см. задачу 1509).
Пусть медиана BT
и биссектриса AK
пересекаются в точке E
, а лучи AK
и TU
пересекаются в точке I
. Тогда I
— точка пересечения биссектрис треугольника BTR
, поэтому BI
— биссектриса угла TBR
. Поскольку луч TU
— биссектриса угла BTR
, точка I
лежит на отрезке ME
, поэтому \angle MBT\gt\angle MBI
. Аналогично докажем, что \angle NBT\gt\angle NBJ
, где J
— точка пересечения биссектрис треугольника CBT
. Значит,
\angle MBN=\angle MBT+\angle NBT\gt\angle MBI+\angle NBJ=\frac{1}{2}\angle ABT+\frac{1}{2}\angle CBT=
=\frac{1}{2}(\angle ABT+\angle CBT)=\frac{1}{2}ABC\gt45^{\circ}.
Аналогично доказывается, что если угол ABC
острый (рис. 3), то точки пересечения биссектрис треугольников ATB
и BTC
лежат на отрезках AM
и CN
соответственно, откуда
\angle MBN\lt\frac{1}{2}\angle ABC\lt45^{\circ}.