11561. Серединные перпендикуляры к сторонам AB
и BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекают стороны CD
и DA
в точках P
и Q
соответственно. Оказалось, что \angle APB=\angle BQC
. Внутри четырёхугольника выбрана такая точка X
, для которой QX\parallel AB
и PX\parallel BC
. Докажите, что прямая BX
делит диагональ AC
пополам.
Решение. Достаточно доказать, что расстояния от точек A
и C
до прямой BX
равны. Это равносильно тому, что S_{\triangle ABX}=S_{\triangle BCX}
, так как у треугольников ABX
и BCX
общее основание BX
. Поскольку QX\parallel AB
, имеем S_{\triangle ABX}=S_{\triangle ABQ}
, так как у треугольников ABX
и ABQ
общее основание AB
и равные высоты, опущенные на это основание. Аналогично, S_{\triangle CBX}=S_{\triangle CBP}
.
Заметим, что равнобедренные треугольники ABP
и CBQ
подобны, поэтому \frac{AB}{BC}=\frac{BP}{BQ}
, откуда AB\cdot BQ=CB\cdot BP
, а так как \angle ABP=\angle CBQ
(как углы при основаниях подобных равнобедренных треугольников), то и \angle ABQ=\angle CBP
. Следовательно, площади треугольников ABQ
и CBP
относятся как произведения заключающих равные углы сторон (см. задачу 4254), т. е. эти площади равны. Но тогда
S_{\triangle ABX}=S_{\triangle ABQ}=S_{\triangle CBP}=S_{\triangle CBX}.
Что и требовалось доказать.