11584. Биссектрисы углов A
и C
трапеции ABCD
пересекаются в точке P
, а биссектрисы углов B
и D
— в точке Q
, отличной от P
. Докажите, что если отрезок PQ
параллелен основанию AD
, то трапеция равнобокая.
Решение. Обозначим через \rho(X,YZ)
расстояние от точки X
до прямой YZ
. Поскольку точка P
лежит на биссектрисе угла C
, имеем \rho(P,BC)=\rho(P,CD)
(см. задачу 1138). Аналогично, \rho(Q,AB)=\rho(Q,BC)
. Но QP\parallel BC
, поэтому \rho(Q,BC)=\rho(P,BC)
, откуда (Q,AB)=\rho(P,CD)
. Аналогично,
\rho(P,AB)=\rho(P,AD)=\rho(Q,AD)=\rho(Q,CD).
Продолжим боковые стороны AB
и CD
до пересечения в точке S
. Пусть точка P'
симметрична Q
относительно биссектрисы l
угла ASD
. Тогда из симметрии
\rho(P',CD)=\rho(Q,AB)=\rho(P,CD)~\mbox{и}~\rho(P',AB)=\rho(Q,CD)=\rho(P,AB).
Таким образом, точки P
и P'
лежат внутри угла ASD
на прямых, параллельных AB
и CD
и отстоящих от них на расстояния \rho(P,AB)
и \rho(P,CD)
соответственно (см. задачу 2398). Эти прямые не параллельны, поэтому у них только одна точка пересечения. Значит, точки P'
и P
совпадают, точки P
и Q
симметричны относительно биссектрисы угла ASD
, и l\perp PQ\parallel AD
0. Итак, в треугольнике SAD
биссектриса является высотой, углы при его основании равны, т. е. трапеция ABCD
— равнобокая.