11589. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
, в котором AB=CD
, выбрана точка P
таким образом, что сумма углов PBA
и PCD
равна 180^{\circ}
. Докажите, что PB+PC\lt AD
.
Решение. Построим на продолжении луча PC
за точку C
точку K
таким образом, что CK=BP
. Тогда треугольники ABP
и DCK
будут равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому DK=AP
и \angle BAP=\angle CDK
.
Обозначим
\angle BAP=\angle CDK=\beta,~\angle CDP=\gamma,~PAD=\beta_{1},~\angle PDA=\gamma_{1}.
Поскольку
\angle ABC+\angle BCD\gt180^{\circ},
то
\angle BAD+\angle ADC\lt180^{\circ},~\mbox{или}~\beta+\beta_{1}+\gamma+\gamma_{1}\lt180^{\circ}.
Тогда
\angle PDK=\beta+\gamma\lt180^{\circ}-\beta_{1}-\gamma_{1}=\angle APD.
Построим параллелограмм PKDL
. Тогда
\angle DPL=\angle PDK\lt\angle APD.
Следовательно, луч PL
проходит между сторонами угла APD
, а так как AP=DK=LP
, то точки D
и L
лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра к отрезку AL
. Следовательно (см. задачу 1798),
AD\gt DL=PK=PC+PB.