11599. Окружность, проведённая через вершины A
и C
прямоугольного треугольника ABC
, пересекает его гипотенузу AB
в точке D
, а катет BC
в точке E
. Оказалось, что радиус этой окружности равен радиусу окружности, описанной около треугольника BED
. Докажите, что D
— середина гипотенузы.
Решение. Из точки C
, лежащей на окружности, хорда AE
видна под прямым углом, значит, AE
— диаметр окружности. Точка D
лежит на окружности с диаметром AE
, значит,
\angle BDE=\angle EDA=90^{\circ}.
Тогда BE
— диаметр окружности, описанной около треугольника BED
. По условию задачи BE=AE
, т. е. треугольник ABE
равнобедренный. Следовательно, его высота ED
является медианой, т. е. D
— середина AB
. Что и требовалось доказать.