11601. Точки D
и E
— середины сторон AB
и BC
остроугольного треугольника ABC
, а BH
— его высота. Известно, что треугольник DEH
равносторонний. Докажите, что треугольник ABC
также равносторонний.
Решение. Первый способ. Пусть D
— середина стороны AB
. Обозначим DE=DH=EH=a
. Отрезок HD
— медиана прямоугольного треугольника ABH
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
AD=BD=HD=a,~AB=2a
(см. задачу 1109). Аналогично, BE=a
и BC=2a
. Тогда треугольник ABC
равнобедренный, а треугольник DBE
равносторонний. Значит,
\angle ABC=\angle DBE=60^{\circ},
а так как сумма равных углов равнобедренного треугольника ABC
равна 120^{\circ}
, то каждый из них равен 60^{\circ}
. Следовательно, треугольник ABC
равносторонний.
Второй способ. Отрезок DE
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому DE\parallel AC
, а так как HA\perp AC
, то HA\perp DE
. Пусть отрезки BH
и DE
пересекаются в точке M
. Высота HM
равностороннего треугольника DEH
является его медианой, поэтому точка M
— середина отрезка DE
. Тогда медиана BM
треугольника BDE
является его высотой, значит, BD=BE
, а AB=BC
. Таким образом, высота BH
равнобедренного треугольника ABC
является его медианой, значит, H
— середина стороны AC
, а DH
и EH
— средние линии этого треугольника. Тогда
AC=2DE=2DH=BC=AB.
Следовательно, треугольник ABC
равносторонний.