11604. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AD
, BE
и CF
. Оказалось, что четырёхугольник FBDE
— ромб. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Поскольку DB=DE
, точка D
равноудалена от концов отрезка BE
, значит, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BE
, т. е. на прямой DF
. Поскольку BE\perp AC
, прямые DF
и AC
параллельны, а так как прямая DF
проходит через середину диагонали BE
ромба FBDE
, то по теореме Фалеса точка D
— середина стороны BC
. Тогда E
— середина AC
(так как DE\parallel AB
), а F
— середина AB
(так как DF\parallel AC
).
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому AC=2DE=BC
и AB=2DF=BC
. Следовательно, треугольник ABC
равносторонний.