11612. Дан параллелограмм ABCD
. Биссектриса угла DAC
пересекает прямую CD
в точке E
, а биссектриса угла DAC
пересекает прямую BC
в точке F
. Докажите, что биссектриса угла BAD
перпендикулярна прямой EF
.
Решение. Первый способ. Из параллельности прямых AB
и CD
получаем, что
\angle AEC=\angle EAB=\angle EAC,
поэтому треугольник ACE
равнобедренный, CE=AC
. Аналогично, треугольник ACF
тоже равнобедренный, CF=AC
. Следовательно, CE=CF
, т. е. треугольник ECF
равнобедренный. Его высота CH
является биссектрисой.
Биссектрисы углов с соответственно сонаправленными сторонами параллельны, поэтому биссектриса угла BAD
параллельна CH
, а следовательно, перпендикулярна EF
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Обозначим
\angle BAE=\angle CAE=\alpha,~\angle DAF=\angle CAF=\beta.
Тогда
\angle ECF=\angle BAD=2\alpha+2\beta.
Пусть AP
— биссектриса треугольника EAF
. Тогда
\angle EAP=\angle BAP-\angle BAE=(\alpha+\beta)-\alpha=\beta.
Из параллельности прямых AB
и CD
получаем, что
\angle AEC=\angle EAB=\angle EAC,
поэтому треугольник ACE
равнобедренный, CE=AC
. Аналогично, треугольник ACF
тоже равнобедренный, CF=AC
. Следовательно, CE=CF
, т. е. треугольник ECF
равнобедренный. Тогда
\angle CEF=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ECF=90^{\circ}-\alpha-\beta,
\angle AEP=\angle CAE+\angle CEF=\alpha+(90^{\circ}-\alpha-\beta)=90^{\circ}-\beta.
Следовательно,
\angle APE=180^{\circ}-\angle AEP-\angle EAP=180^{\circ}-(90^{\circ}-\beta)-\beta=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.