11621. Пусть ABCD
и DEFG
— такие параллелограммы, что точка D
лежит на отрезке AG
, точка E
— на отрезке DC
и при этом AB=DG=2AD=2DE
. Пусть M
— середина отрезка DG
. Докажите, что CG
— биссектриса угла MCF
.
Решение. Первый способ. Треугольники MDC
и CEF
равны по двум сторонам и углу между ними, так как
DM=\frac{1}{2}DG=DE=EC,~CD=AB=DG=EF~\mbox{и}~\angle MDC=\angle CEF.
Значит, CM=CF
. Тогда треугольники CMG
и CFG
равны по трём сторонам, так как
CM=CF,MG=\frac{1}{2}DG=DE=FG,
а сторона CG
— общая. Следовательно, \angle MCG=\angle FCG
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть продолжения отрезков BC
и FG
пересекаются в точке K
. Тогда CDGK
— ромб, а прямая CG
— ось симметрии ромба. Лучи CM
и CF
симметричны относительно прямой CG
, следовательно, \angle MCG=\angle FCG
. Что и требовалось доказать.