11622. В остром угле с вершиной S
проведены трисектрисы: два луча, исходящие из точки S
и делящие данный угол на три равные части. Из точки A
, лежащей на одной стороне угла, опущены перпендикуляры AB
и AC
на эти трисектрисы. Докажите, что прямая BC
перпендикулярна второй стороне угла.
Решение. Пусть данный угол равен 3\alpha
, а углы ASB
и BSC
равны по \alpha
. Из точек B
и C
отрезок SA
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром SA
. Вписанные в эту окружность углы SAC
и SBC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны, значит,
\angle SBC=\angle SAC=90^{\circ}-\angle SAC=90^{\circ}-2\alpha.
Пусть прямая BC
пересекает вторую сторону данного угла в точке D
. Тогда из треугольника SBD
получаем, что
\angle SDB=180^{\circ}-\angle BSD-\angle SBD=180^{\circ}-2\alpha-(90^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}.
Следовательно, BC\perp SD
. Что и требовалось доказать.