11625. Из точки A
провели касательные AB
и AC
к окружности с центром O
(здесь B
и C
— точки касания). Точка M
— середина отрезка AO
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника ABM
, касается прямой AC
.
Решение. Радиус OB
, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник ABO
прямоугольный с прямым углом при вершине B
. Отрезок BM
— медиана прямоугольного треугольника ABO
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому треугольник AMB
равнобедренный (см. задачу 1109), AM=BM
. Луч AO
— биссектриса угла BAC
(см. задачу 1724). Таким образом,
\angle CAO=\angle OAB=\angle MAB=\angle ABM.
Следовательно (см. задачу 144), CA
— касательная к окружности. Что и требовалось доказать.