11626. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны AB
в точке K
, а стороны AC
— в точке T
. На меньшей дуге TK
выбрана точка P
. Прямая, проходящая через точку K
параллельно прямой AP
, вторично пересекает окружность в точке N
. Найдите PK
, если известно, что AP=a
и KN=b
.
Ответ. \sqrt{ab}
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой, а также из параллельности AT
и KN
следует, что
\angle AKP=\angle KNP~\mbox{и}~\angle KAP=\angle BKN=\angle KPN.
Значит, треугольники AKP
и PNK
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AP}{PK}=\frac{PK}{KN}~\Rightarrow~PK^{2}=AP\cdot KN=ab.
Следовательно, KP=\sqrt{ab}
.