11629. Окружность, проходящая через вершины A
, B
и D
трапеции ABCD
, пересекает её боковую сторону CD
в точке K
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника BCK
, касается прямой AB
.
Решение. Пусть M
— точка на продолжении боковой стороны AB
за точку B
. Тогда, так как ABCK
— вписанный четырёхугольник,
\angle MBC=\angle BAD=180^{\circ}-\angle BKD=\angle BKC.
Следовательно, из теоремы, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), получаем, что BM
— касательная к окружности, описанной около треугольника BCK
. Что и требовалось доказать.