11630. На высотах AA_{0}
, BB_{0}
, CC_{0}
остроугольного неравностороннего треугольника ABC
отметили соответственно точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
так, что AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=R
, где R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Заметим, что если O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, то \angle ACO=\angle BCC_{0}
(см. задачу 20), а так как CC_{1}=R=C
, то точки C_{1}
и O
симметричны относительно биссектрисы угла ACB
. Тогда IC_{1}=IO
, где I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Аналогично, IO=IA_{1}=IB_{1}
. Значит, точка I
равноудалена от всех вершина треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, I
— центр описанной окружности этого треугольника.