11632. Биссектрисы AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Докажите, что из отрезков IA_{1}
, IB_{1}
, IC_{1}
можно составить остроугольный треугольник.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Докажем, что каждая биссектриса остроугольного треугольника образует со стороной, к которой она проведена, углы, большие 45^{\circ}
. Действительно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AA_{1}B=\frac{\alpha}{2}+\gamma\gt\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}(\alpha+\gamma)\gt45^{\circ}.
Последнее неравенство верно, так как в противном случае \alpha+\gamma\leqslant90^{\circ}
, а тогда \beta=180^{\circ}-\alpha-\gamma\geqslant90^{\circ}
, что невозможно, поскольку треугольник остроугольный. Аналогично для остальных пяти таких углов.
Пусть IP
— перпендикуляр, опущенный из точки I
на сторону BC
. Тогда либо IA_{1}=IP
, либо
IP\leqslant IA_{1}=\frac{IP}{\sin\angle AA_{1}B}\lt\frac{IP}{\sin45^{\circ}}=IP\sqrt{2}.
Значит, IP\leqslant IA_{1}\lt IP\sqrt{2}
.
Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Пусть её радиус равен 1. Тогда 1\leqslant IA_{1}\lt\sqrt{2}
. Аналогично,
1\leqslant IB_{1}\lt\sqrt{2},~1\leqslant IC_{1}\lt\sqrt{2}.
Значит,
1\leqslant IA_{1}^{2}\lt2,~1\leqslant IB_{1}^{2}\lt2,~1\leqslant IC_{1}^{2}\lt2,
откуда
IA_{1}^{2}+IB_{1}^{2}\geqslant2\gt IC_{1}^{2},~IA_{1}^{2}+IC_{1}^{2}\geqslant2\gt IB_{1}^{2},~IB_{1}^{2}+IC_{1}^{2}\geqslant2\gt IA_{1}^{2}.
Тогда
(IA_{1}+IB_{1})^{2}\gt IC_{1}^{2}+2IA_{1}\cdot IB_{1}\gt IC_{1}^{2},
(IA_{1}+IC_{1})^{2}\gt IB_{1}^{2}+2IA_{1}\cdot IC_{1}\gt IB_{1}^{2},
(IB_{1}+IC_{1})^{2}\gt IA_{1}^{2}+2IB_{1}\cdot IC_{1}\gt IA_{1}^{2}.
Значит,
IA_{1}+IB_{1}\gt IC_{1},~IA_{1}+IC_{1}\gt IB_{1},~IB_{1}+IC_{1}\gt IA_{1}.
Следовательно, из отрезков IA_{1}
, IB_{1}
, IC_{1}
можно составить треугольник, а так как
IA_{1}^{2}+IB_{1}^{2}\gt IC_{1}^{2},~IA_{1}^{2}+IC_{1}^{2}\gt IB_{1}^{2},~IB_{1}^{2}+IC_{1}^{2}\gt IA_{1}^{2},
то этот треугольник остроугольный (см. задачу 4004).