11637. Две окружности пересекаются в точках A
и B
, P
и Q
— точки касания этих окружностей с их общей касательной. Точка H
— ортоцентр треугольника PAQ
. Докажите, что угол ABH
прямой.
Решение. Пусть расстояние от точки A
до прямой PQ
больше, чем от точки B
.
Рассмотрим вписанный четырёхугольник ABPM
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle APQ=\angle AMP=180^{\circ}-\angle ABP.
Обозначим \angle BPQ=\alpha
, \angle BQP=\beta
. Тогда
\angle PBQ=180^{\circ}-\alpha-\beta=\angle PHQ.
Значит, точки P
, H
, B
и Q
лежат на одной окружности (можно считать, что они расположены на окружности в таком порядке). Вписанные в эту окружность углы HBP
и HQP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle HBP=\angle HQP
. Следовательно,
\angle ABH=\angle ABP-\angle HBP=(180^{\circ}-\angle APQ)-\angle HQP=
=180^{\circ}-(\angle APQ+\angle HQP)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Случай, когда точка A
находится ближе к прямой PQ
, чем B
, рассматривается аналогично.