11647. Высоты AA_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Точки H_{a}
и H_{c}
симметричны точке H
относительно точек A
и C
соответственно. Прямая H_{a}C_{1}
пересекает прямую CB
в точке C'
. Прямая H_{c}A_{1}
пересекает прямую AB
в точке A'
. Докажите, что прямые AC
и A'C'
параллельны.
Решение. Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Вписанные в эту окружность углы CC_{1}A_{1}
и CAA_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. При этом AC\parallel H_{a}H_{c}
, значит,
\angle H_{c}C_{1}A_{1}=\angle CC_{1}A_{1}=\angle CAA_{1}=\angle H_{c}H_{1}A_{1},
т. е. из точек C_{1}
и H_{a}
, лежащих по одну сторону от прямой A_{1}H_{c}
, отрезок A_{1}H_{c}
виден под одним и тем же углом. Значит, H_{a}C_{1}A_{1}H_{c}
— вписанный четырёхугольник. Тогда по теореме о вписанных углах
\angle C'H_{a}A_{1}=\angle C_{1}H_{a}A_{1}=\angle C_{1}H_{c}A_{1}=\angle C_{1}H_{c}A_{1}.
Из прямоугольных треугольников H_{a}A_{1}C'
и H_{c}C_{1}A'
с равными углами C'H_{a}A_{1}
и C_{1}H_{c}A_{1}
получаем, что
\angle C_{1}C'A_{1}=\angle H_{a}C'A_{1}=\angle H_{c}A'C_{1}=\angle A_{1}A'C_{1}.
Значит, точки A_{1}
, C_{1}
, A'
, C'
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы A_{1}A'C'
и A_{1}C_{1}C'
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Следовательно,
\angle A_{1}A'C'=\angle A_{1}C_{1}C'=180^{\circ}-\angle H_{a}C_{1}H_{c}=\angle H_{a}H_{c}A_{1}.
Таким образом, накрест лежащие углы A_{1}A'C'
и A_{1}H_{c}H_{a}
при прямых A'C'
, H_{a}H_{c}
и секущей A'H_{c}
равны. Следовательно, A'C'\parallel H_{a}H_{c}\parallel AC
.