11648. В треугольнике ABC
с углом B
, равным 60^{\circ}
, проведена биссектриса BB_{1}
. Описанная окружность треугольника ABB_{1}
пересекает сторону BC
в точке A_{0}
. Описанная окружность треугольника CBB_{1}
пересекает сторону AB
в точке C_{0}
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A_{0}B_{1}C_{0}
лежит на прямой BB_{1}
.
Решение. Докажем, что треугольник ABC
остроугольный. Пусть, например, \angle A\geqslant90^{\circ}
. Тогда точка C_{0}
лежит не на отрезке AB
, а на его продолжении. Действительно, предположим, что точка C_{0}
лежит на стороне AB
. Тогда четырёхугольник BCB_{1}C_{0}
вписанный, поэтому
\angle AC_{0}B_{1}=\angle C=180^{\circ}-\angle A-60^{\circ}=120^{\circ}-\angle A\leqslant30^{\circ},
что невозможно, так как AC_{0}B_{1}
— внешний угол треугольника BC_{0}B_{1}
, в котором \angle C_{0}BB_{1}=30^{\circ}
. Следовательно, ABC
— остроугольный треугольник.
Поскольку четырёхугольники ABA_{0}B_{1}
и CBC_{0}B_{1}
вписанные,
\angle CB_{1}A_{0}=\angle ABA_{0}=60^{\circ},~\angle AB_{1}C_{0}=\angle CBC_{0}=60^{\circ}.
Значит,
\angle A_{0}B_{1}C_{0}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}=\angle ABC.
Кроме того, равные вписанные углы опираются на равные хорды, поэтому
AB_{1}=A_{0}B_{1}~\mbox{и}~CB_{1}=C_{0}B_{1}.
Тогда треугольники AB_{1}C_{0}
и A_{0}B_{1}C
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle C_{0}A_{0}B_{1}=\angle A
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника A_{0}B_{1}C_{0}
. Этот треугольник остроугольный, так как его углы соответственно равны углам остроугольного треугольника ABC
. Угол B_{1}OC_{0}
равен половине вписанного угла C_{0}A_{0}B_{1}
. Из равнобедренного треугольника B_{1}OC_{0}
получаем, что
\angle OB_{1}C_{0}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B_{1}OC_{0}=90^{\circ}-\angle C_{0}A_{0}B_{1}=90^{\circ}-\angle A.
С другой стороны,
\angle BB_{1}C_{0}=\angle BB_{1}A-\angle AB_{1}C_{0}=\angle BB_{1}A-60^{\circ}=
=(180^{\circ}-30^{\circ}-\angle A)-60^{\circ}=90^{\circ}-\angle A.
Значит, \angle OB_{1}C_{0}=\angle BB_{1}C_{0}
. Следовательно, точка O
лежит на прямой BB_{1}
. Что и требовалось доказать.