11649. В остроугольном треугольнике ABC
проведена биссектриса BB'
. Описанная окружность треугольника ABB'
и биссектриса внешнего угла A
пересекаются в точке M
, а описанная окружность треугольника CBB'
и биссектриса внешнего угла C
пересекаются в точке N
. Прямая MN
пересекает отрезок BB'
в точке K
. Докажите, что описанные окружности треугольников AMK
и CNK
повторно пересекаются на прямой BB'
.
Решение. Первый способ. Пусть T
— точка на продолжении стороны AC
за точку A
. Четырёхугольник AMBB'
вписанный, поэтому
\angle MBB'=180^{\circ}-\angle MAB'=\angle MAT=\angle MAB=\angle MB'B.
Значит, MB'=MB
, и поэтому точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BB'
. Аналогично, точка N
лежит на том же серединном перпендикуляре. Следовательно, прямая MN
— серединный перпендикуляр к отрезку BB'
.
Пусть описанная окружность треугольника AMK
повторно пересекает прямую BB'
в точке I
. Поскольку \angle MKI=90^{\circ}
, отрезок MI
— диаметр этой окружности, значит, \angle IAM=90^{\circ}
, а так как AM
— биссектриса угла BAT
, то AI
— биссектриса смежного с ним угла BAC
. Аналогично, CI
— биссектриса угла ACB
. Значит, I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Следовательно, точка I
лежит на третьей биссектрисе BB'
этого треугольника. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть J
— точка пересечения лучей MA
и NC
, т. е. центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AC
. Тогда точка J
лежит на прямой BB'
— радикальной оси описанных окружностей треугольников ABB'
и CBB'
(см. задачу 6392). Кроме того, прямая AM
— радикальная ось описанных окружностей треугольников ABB'
и AMK
, а прямая CN
— радикальная ось описанных окружностей треугольников CBB'
и CNK
. Значит, степени точки J
относительно описанных окружностей треугольников ABB'
, CBB'
, AMK
и CNK
, равны. Следовательно, точки пересечения описанных окружностей треугольников AMK
и CNK
лежат на прямой BJ
. Что и требовалось доказать.