11658. Точки M
и N
— середины параллельных сторон соответственно BC
и AD
четырёхугольника ABCD
. Докажите, что если MA
— биссектриса угла BMN
, то MD
— биссектриса угла CMN
.
Решение. Поскольку
\angle MAN=\angle AMB=\angle AMN,
треугольник ANM
равнобедренный с основанием AM
. Тогда MN=AN=ND
, значит, треугольник DNM
равнобедренный с основанием DM
. Следовательно,
\angle DMN=\angle NDM=\angle CMD,
т. е. MD
— биссектриса угла CMN
. Что и требовалось доказать.
Примечание. То, что M
— середина BC
, несущественно. Утверждение задачи остаётся верным для любой точки M
, взятой на стороне BC
.