11660. В четырёхугольнике ABCD
углы A
и D
равны по 60^{\circ}
, а угол C
равен 90^{\circ}
.
а) Найдите AB
, если AD=6
, CD=5
.
б) Докажите, что CD=\frac{AB+AD}{2}
.
Ответ. 4
.
Решение. а) Пусть лучи AB
и DC
пересекаются в точке E
. Тогда треугольник AED
равносторонний, AE=DE=AD=6
. Тогда
CE=DE-DC=6-5=1.
Из прямоугольного треугольника BCE
с углом 30^{\circ}
при вершине B
находим, что
BE=2CE=2.
Следовательно,
AB=AE-BE=6-2=4.
б) Из прямоугольного треугольника BCE
с углом 30^{\circ}
при вершине B
находим, что
BE=2EC=2(DE-CD).
Следовательно,
2CD=2(DE-EC)=2DE-2EC=(AE+AD)-BE=
=(AE-BE)+AD=AB+AD.
Что и требовалось доказать.