11663. Точки M
и N
— середины сторон AB
и CD
прямоугольника ABCD
. На отрезках AM
, BM
, CN
, DN
, MC
и MD
как на диаметрах построили окружности. Докажите, что есть окружность, касающаяся их всех.
Решение. Пусть O
— центр прямоугольника, r
— радиус первых четырёх окружностей, R
— радиус последних двух, O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей с диаметрами MB
и MC
соответственно.
Пусть луч OO_{1}
пересекает окружность с диаметром MB
в точке P
. Тогда эта окружность касается внутренним образом окружности \Omega
с центром O
и радиусом R+r
, так как расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов, т. е.
OO_{1}=OP-OO_{1}=OP-O_{1}M=(R+r)-R=r.
Аналогично, для окружностей с диаметрами MA
, NC
и ND
.
Пусть луч OO_{2}
пересекает окружность с диаметром MC
в точке Q
. Тогда эта окружность касается внутренним образом окружности \Omega
, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов, т. е.
OO_{2}=OQ-OO_{2}=OQ-\frac{1}{2}CN=(R+r)-r=R
(отрезок OO_{2}
— средняя линия треугольника MNC
). Аналогично, для окружности с диаметром MD
.
Аналогично можно доказать, что окружность \omega
с центром O
и радиусом R-r
касается внешним образом окружностей с диаметрами AM
, BM
, CN
, DN
и внутренним образом — окружностей с диаметрами MC
и MD
.