11667. В описанном четырёхугольнике ABCD
углы A
и B
равны по 120^{\circ}
, угол D
равен 90^{\circ}
, BC=1
. Найдите сторону AD
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}-1}{2}
.
Решение. Сумма углов четырёхугольника равна 360^{\circ}
, поэтому \angle C=30^{\circ}
. Пусть I
— центр вписанной в четырёхугольник ABCD
окружности, E
— точка касания со стороной CD
. Тогда AI
и BI
— биссектрисы углов четырёхугольника, поэтому
\angle DAI=\angle BAI=\angle ABI=\angle CBI=60^{\circ}.
Тогда треугольник AIB
равносторонний, BI\parallel AD
, а так как IE\perp CD
и AD\perp CD
, то IE\parallel AD
. Значит, точки B
, I
и E
лежат на одной прямой, а также BE=\frac{1}{2}
как катет прямоугольного треугольника BCE
, лежащий против угла в 30^{\circ}
.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{EI}{BI}=\frac{CE}{CB}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2},
откуда находим, что
BI=BE\cdot\frac{BI}{BE}=BE\cdot\frac{BI}{BI+EI}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}.
Пусть F
и G
— точки касания окружности со сторонами AD
и AB
соответственно. Тогда DG=IE=IF
— радиусы окружности. Из равностороннего треугольника AIB
находим, что
AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BI=\frac{2-\sqrt{3}}{2},~IF=BI\sin60^{\circ}=(2-\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
AD=AG+GD=AF+IE=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+(2-\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.