11686. Диагонали прямоугольника ABCD
пересекаются в точке O
, а на стороне AD
выбрана такая точка K
, что AK=2
, KD=1
. Оказалось, что \angle ACK=30^{\circ}
. Найдите OK
.
Ответ. 1.
Решение. На продолжении стороны AD
за точку D
отложим отрезок DE=KD
. В треугольнике CKE
высота CD
является медианой, поэтому треугольник равнобедренный, CE=CK
. В треугольнике ACE
отрезок OK
— средняя линия, поэтому
OK=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}CK.
Тогда в треугольнике CKO
сторона OK
, лежащая против угла в 30^{\circ}
, равна половине стороны CK
. Докажем, что \angle KOC=90^{\circ}
.
Для этого опустим перпендикуляр KO_{1}
на прямую CK
. В прямоугольном треугольнике CKO_{1}
катет KO_{1}
лежит против угла в 30^{\circ}
, значит,
KO_{1}=\frac{1}{2}CK=KO.
Следовательно, точки O
и O_{1}
совпадают, и \angle KOC=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Тогда в треугольнике AKC
высота совпадает с медианой, поэтому CK=AK=2
, а OK=1
.