11689. В прямоугольном треугольнике ABC
на катетах AC
и BC
взяты точки P
и Q
соответственно так, что \angle PBC=\frac{1}{3}\angle ABC
и \angle QAC=\frac{1}{3}\angle BAC
. Отрезки AQ
и BP
пересекаются в точке T
. Докажите, что TP=TQ
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения биссектрис треугольника ABT
. Тогда лучи AK
и AT
разбивают угол BAC
на три равных угла. Поскольку
\angle ATB=180^{\circ}-\frac{2}{3}(\angle CAB+\angle CBA)=180^{\circ}-\frac{2}{3}\cdot90^{\circ}=120^{\circ},
получаем, что
\angle ATP=60^{\circ},~\angle ATK=\frac{1}{2}\angle ATB=60^{\circ}.
Значит, треугольники ATP
и ATK
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, TP=TK
. Аналогично TQ =TK.