11699. Хорда BR
описанной окружности треугольника ABC
пересекает сторону AC
в точке P
. Точки O_{a}
и O_{c}
— центры описанных окружностей треугольников APR
и CPR
соответственно. Докажите, что прямые AO_{a}
и CO_{c}
пересекаются на прямой, содержащей высоту треугольника ABC
.
Решение. Центральный угол описанной окружности треугольника APR
вдвое больше вписанного угла ARP
. Из равнобедренного треугольника AO_{a}P
получаем, что
\angle CAO_{a}=\angle PAO_{a}=90^{\circ}-\angle ARP=90^{\circ}-\angle ARB=90^{\circ}-\angle ACB.
Аналогично \angle ACO_{c}=90^{\circ}-\angle A
. Тогда
\angle CAO_{a}+\angle ACO_{c}=180^{\circ}-\angle A-\angle C=\angle B\lt180^{\circ},
поэтому лучи AO_{a}
и CO_{c}
пересекаются в некоторой точке K
, причём точки K
и B
лежат по разные стороны от прямой AC
, а так как
\angle AKC=180^{\circ}-\angle B,
то точка K
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. При этом
\angle KBC=\angle KAC=90^{\circ}-\angle C,
т. е. BK\perp AC
. Следовательно, прямая BK
содержит высоту треугольника.