11702. Отрезок CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
(угол C
прямой). Вне треугольника ABC
построены равносторонние треугольники AHA_{1}
и BHB_{1}
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A_{1}CB_{1}
лежит на гипотенузе AB
.
Решение. Можно считать, что AH\leqslant BH
. Рассмотрим такую точку O
на гипотенузе AB
, что BO=AH
, и докажем, что O
— центр описанной окружности треугольника A_{1}CB_{1}
.
Обозначим AH=u
, BH=v
. Тогда CH^{2}=uv
(см. задачу 2728) и
OC^{2}=OH^{2}+CH^{2}=BH^{2}+CH^{2}=(v-u)^{2}+uv=u^{2}+v^{2}-uv.
По теореме косинусов из треугольника AOA_{1}
получаем, что
OA_{1}^{2}=AA_{1}^{2}+OA^{2}-2AA_{1}\cdot OA\cos60^{\circ}=u^{2}+v^{2}-uv=OC^{2}.
Аналогично OB_{1}^{2}=OC^{2}
.
Примечание. Равенство OA_{1}=OB_{1}
можно доказать и по-другому: треугольники AOA_{1}
и BB_{1}O
равны по двум сторонам и углу между ними.