11717. В треугольнике ABC
проведена медиана BM
. Найдите угол ABC
, если \angle BAC=30^{\circ}
, а \angle BMC=45^{\circ}
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Опустим высоту CH
на сторону AB
. В прямоугольном треугольнике AHC
известно, что \angle A=30^{\circ}
, \angle ACH=60^{\circ}
, а HM
— медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
CH=\frac{1}{2}CA=CM=MH.
Значит, треугольник CMH
равносторонний.
Поскольку
\angle CMH=60^{\circ}\gt45^{\circ}=\angle CMB,
точка H
лежит на стороне AB
, а не на её продолжении. Заметим, что
\angle BMH=\angle CMH-\angle CMB=15^{\circ}
и
\angle MBH=\angle MBA=\angle CMB-\angle MAB=15^{\circ}.
Поэтому треугольник BMH
равнобедренный, HM=HB
. Но тогда и HB=HC
, т. е. BHC
— равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, \angle ABC=45^{\circ}
.