1172. BK
— биссектриса треугольника ABC
. Известно, что \angle AKB:\angle CKB=4:5
. Найдите разность углов A
и C
треугольника ABC
.
Ответ. 20^{\circ}
.
Указание. Найдите углы \angle AKB
и \angle CKB
и воспользуйтесь теоремой о внешнем угле треугольника.
Решение. Обозначим \angle AKB=4\alpha
, \angle CKB=5\alpha
. Тогда
\angle AKB+\angle CKB=180^{\circ},
или 9\alpha=180^{\circ}
, откуда находим, что \alpha=20^{\circ}
. Значит,
\angle AKB=80^{\circ},~\angle CKB=100^{\circ}.
Обозначим \angle ABK=\angle CBK=\beta
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AKB=\angle BCK+\angle CBK,~\angle CKB=\angle BAK+\angle ABK,
или
80^{\circ}=\angle C+\beta,~100^{\circ}=\angle A+\beta.
Из этих равенств находим, что \angle A-\angle C=20^{\circ}
.