11776. Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC
(\angle A=90^{\circ}
) касается сторон AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Прямая PQ
пересекает продолжение стороны AC
в точке R
. Докажите, что AR=BQ
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности, M
— точка касания с катетом AC
. Тогда AMOP
— квадрат, поэтому AP=PI
. Кроме того, BI\perp PQ
(см. задачу 1180), поэтому \angle ARP=\angle PBI
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Значит, треугольники ARP
и PBI
равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, AR=BP=BQ
.