11779. Через вершину B
равностороннего треугольника ABC
проведена прямая l
. Вне треугольника проведены две окружности: одна из них — с центром P
— касается стороны AB
в точке A_{1}
, а также прямых l
и AC
, другая — с центром Q
— касается стороны BC
в точке C_{1}
, а также прямых l
и BC
. Докажите, что:
а) треугольник PBQ
равнобедренный;
б) описанная окружность треугольника A_{1}BC_{1}
проходит через середину стороны AC
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
а) Возьмём на отрезке AC
такую точку N
, что луч BA
— биссектриса угла PBN
. Луч AP
— биссектриса внешнего угла треугольника ABC
, поэтому
\angle BAP=\frac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=60^{\circ}=\angle BAN.
Значит, треугольники BAP
и BAN
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому BP=BN
.
Пусть X
и Y
— точки касания прямой l
с окружностями с центрами P
и Q
соответственно. Тогда
\angle XBP+\angle YBQ=\frac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=60^{\circ},
поэтому
\angle ABP+\angle CBQ=\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=60^{\circ}=\angle ABC=\angle ABN+\angle CBN,
а так как \angle ABN=\angle ABP
, то \angle CBN=\angle CBQ
. Тогда из равенства треугольников CBN
и CBQ
получаем, что BQ=BN
. Следовательно, BP=BQ
.
б) Как показано в п. а), AP=AN
, т. е. треугольник NAP
равнобедренный, а AB
— биссектриса угла PAN
. Значит, прямая AB
содержит высоту треугольника PAN
, а так как PA_{1}\perp AB
, то точка A_{1}
лежит на PN
. Аналогично, C_{1}
лежит на QN
.
Поскольку \angle BA_{1}N=\angle BC_{1}N=90^{\circ}
, отрезок BN
— диаметр описанной окружности треугольника A_{1}BC_{1}
. Значит, из второй точки пересечения этой окружности со стороной AC
— точки M
— отрезок BN
виден также под прямым углом, т. е. BM
— высота равностороннего треугольника ABC
. Следовательно, M
— середина стороны AC
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Если l\parallel AC
, то точки M
и N
совпадают.