11797. Точка P
, расположенная внутри треугольника ABC
, проецируется на стороны BC
, CA
, AB
в их внутренние точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
соответственно, а затем — в точки A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
на отрезках B_{1}C_{1}
, C_{1}A_{1}
, A_{1}B_{1}
соответственно. Докажите, что
PA\cdot PA_{1}\cdot PA_{2}=PB\cdot PB_{1}\cdot PB_{2}=PC\cdot PC_{1}\cdot PC_{2}.
Решение. Четырёхугольник PB_{1}AC_{1}
вписан в окружность с диаметром PA
, поскольку углы PB_{1}A
и PC_{1}A
прямые, поэтому \angle PB_{1}C_{1}=\angle PAC_{1}
. Следовательно, прямоугольные треугольники PB_{1}A_{2}
и PAC_{1}
подобны. Значит, \frac{PB_{1}}{PA}=\frac{PA_{2}}{PC_{1}}
. Таким образом, PA\cdot PA_{1}\cdot PA_{2}=PA_{1}\cdot PB_{1}\cdot PC_{1}
.
Аналогичное равенство доказывается и для двух других произведений. Следовательно, все они равны между собой.