11799. Внутри треугольника ABC
взята точка M
. Докажите, что сумма MA+MB+MC
меньше суммы длин двух наибольших сторон треугольника.
Решение. Пусть AB\geqslant BC\geqslant CA
. Проведём через точку M
прямую, параллельную AC
и пересекающую стороны AB
и BC
в точках A_{1}
и C_{1}
соответственно. Из подобия треугольников ясно, что A_{1}B\geqslant BC_{1}\geqslant C_{1}A_{1}
. Согласно неравенству треугольника
MA+MC\lt(AA_{1}+A_{1}M)+(CC_{1}+C_{1}M)=AA_{1}+A_{1}C_{1}+CC_{1}.
Отрезок BM
меньше наибольшей из сторон AC_{1}
и BC_{1}
треугольника A_{1}BC_{1}
(см. задачу 3501), поэтому BM\lt A_{1}B
. Следовательно,
MA+MB+MC\lt A_{1}B+AA_{1}+A_{1}C_{1}+CC_{1}\leqslant
\leqslant AB+BC_{1}+CC_{1}=AB+BC.
Что и требовалось доказать.