11810. Равные касающиеся окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
вписаны в параллелограмм ABCD
, причём первая касается сторон AB
, BC
и AD
, а вторая — сторон CD
, BC
и AD
. Луч AO_{1}
пересекает сторону BC
в точке M
, луч CO_{2}
пересекает сторону AD
в точке N
. Известно, что угол при вершине A
параллелограмма равен 60^{\circ}
, а радиусы окружностей равны 1. Найдите периметр четырёхугольника AMCN
.
Ответ. 12.
Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла (см. задачу 1724). Поэтому луч AO_{1}
— биссектриса угла BAD
, а луч BO_{1}
— биссектриса угла ABM
. Тогда
\angle AMB=\angle MAD=\angle MAB=30^{\circ}.
Треугольник ABM
равнобедренный, а BO_{1}
— его биссектриса, поэтому BO_{1}
— медиана этого треугольника.
Пусть K
— точка касания стороны AD
и окружности с центром O_{1}
. Из прямоугольного треугольника AKO_{1}
находим, что O_{1}A=2O_{1}K=2
, а так как O_{1}
— середина отрезка AM
, то AM=4
. Аналогично, CN=4
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому O_{1}O_{2}=2
. Кроме того, O_{1}O_{1}\parallel BC
, а O_{1}M\parallel CO_{2}
как биссектрисы противоположных углов параллелограмма, поэтому CMO_{1}O_{2}
— параллелограмм. Значит, CM=O_{1}O_{2}=2
. Аналогично, AN=2
. Следовательно, периметр параллелограмма AMNC
равен 2\cdot4+2\cdot2=12
.