11812. Даны две окружности, пересекающиеся в точках P
и Q
. Произвольная прямая l
, проходящая через Q
, повторно пересекает окружности в точках A
и B
. Прямые, касающиеся окружностей в точках A
и B
, пересекаются в точке C
, а биссектриса угла CPQ
пересекает прямую AB
в точке D
. Докажите, что все точки D
, которые можно так получить, выбирая по-разному прямую l
, лежат на одной и той же окружности.
Решение. Пусть точка A
лежит на одной окружности, B
— на другой. Два различных случая расположения приведены на рисунках. Решение годится для всех случаев.
По теореме об угле между хордой и касательной получаем равенство ориентированных углов
\angle(AC,AP)=\angle(AQ,QP)=\angle(BC,BP)
(см. задачу 873). Следовательно, точка C
лежит на описанной окружности треугольника APB
. Тогда
\angle(CP,PB)=\angle(CA,AB)=\angle(AP,PQ),
т.е биссектрисы неориентированных углов CPQ
и BPA
совпадают или перпендикулярны.
Если точка Q
лежит между A
и B
, то APBC
— выпуклый четырёхугольник. Если же, например, B
лежит между Q
и A
, то PBAC
— выпуклый четырёхугольник. В обоих случаях PD
— биссектриса треугольника PAB
. Все эти треугольники подобны друг другу и одинаково ориентированы. Значит, все треугольники PAD
также подобны друг другу и при движении точки A
по окружности точка D
также движется по окружности.